ANALOGÍA TERMOELÉCTRICA PARA EL ESTUDIO DE LA TRANSMISIÓN DEL CALOR
Millán Costa Valderrama, Alejandro Cuesta Matesanz y Juan Gallego Llorente
Profesor: Juan Antonio Sanz García
IES Mariano Quintanilla
Resumen
La transferencia de calor complementa el estudio que la Termodinámica hace de los procesos físicos en los que se produce el tránsito de calor entre dos sistemas y sus efectos sobre las variables involucradas, en especial sobre la cinética del proceso. Para ello es imprescindible conocer la distribución de temperaturas a lo largo del tiempo, algo que no siempre es posible debido a la complejidad experimental, por un lado, y a la dificultad que entraña la resolución de las ecuaciones que gobiernan el proceso, por otro. Una alternativa es recurrir a los métodos analógicos basados en la construcción de un modelo que se comporte análogamente al sistema real. En concreto, existe una analogía en las ecuaciones que describen la transferencia de calor y la conducción de corriente en un circuito eléctrico.
En este proyecto se ha caracterizado el pladur midiendo sus propiedades térmicas másicas y la distribución de temperatura en varias secciones de un muro construido con este material y comparado los resultados con los obtenidos a partir de un circuito diseñado para tener un comportamiento análogo. Los resultados son comparables y nos han permitido extender el estudio a otra sustancia como es la alúmina, de mayor conductividad térmica, presente en materiales cerámicos.
La analogía termoeléctrica puede tener importantes aplicaciones en el estudio y optimización de máquinas térmicas como los motores de combustión Otto y Diesel y de vapor como las centrales nucleares y térmicas, así como en el diseño de edificios y elaboración de certificaciones energéticas.
Introducción
Las
leyes de la Termodinámica nos permiten obtener la energía necesaria para que un
sistema determinado evolucione entre dos estados que se encuentren en
equilibrio, pero no pueden predecir la velocidad con la que se van a producir
estos cambios. La transferencia de calor complementa la primera y segunda leyes
de la Termodinámica proporcionando los métodos de análisis de la cinética del
proceso. La Termodinámica predice las temperaturas finales una vez que los
sistemas implicados hayan alcanzado el equilibrio, mientras que la
transferencia de calor es capaz de predecir la velocidad con la que se
transfiere el calor así como la distribución de temperaturas a lo largo del
tiempo.
La transferencia de calor se puede realizar por
conducción, convección y radiación. Cuando en un sólido existe un
gradiente de temperatura dT/dx, el calor
se transmite de la región de mayor a la de menor temperatura. Este proceso es gobernado por la ley de conducción
del calor de Fourier. La ley de conducción del calor establece que el calor transferido por unidad de
tiempo dQ/dt es proporcional al gradiente de temperatura y al área A a través
de la cual se conduce el calor. 
donde la constante de proporcionalidad κ es la conductividad térmica del medio y es una de sus propiedades características. Se mide en W/mK en el Sistema Internacional.
La solución de esta ecuación depende de las condiciones de contorno de cada caso particular y nos proporciona la distribución de temperatura en función de la posición y del tiempo T = T (x,y,z,t). Esta solución puede ser muy difícil de obtener, por lo que muchas veces se obtienen soluciones aproximadas siguiendo algún método de aproximación. Uno de estos métodos es el analógico, basado en la construcción de un modelo que se comporte análogamente al sistema real cuando se le someta a condiciones análogas.
Hay muchos fenómenos presentes en la naturaleza cuya descripción matemática da lugar a ecuaciones que son formalmente análogas. Uno de estos casos son los fenómenos de transporte como la difusión, la convección, la conducción térmica y eléctrica. En concreto, existe una analogía en las ecuaciones que describen la transferencia de calor y la conducción de corriente en un circuito eléctrico. Esta analogía posibilita el estudio del fenómeno de transmisión de calor en un sistema en concreto y la simulación del proceso con un circuito eléctrico convenientemente diseñado para este fin, pudiendo llegar a resultados comparables.
En el caso de la transmisión de calor en un sistema unidimensional, por ejemplo, a través de un muro de caras paralelas la ecuación de Fourier se transforma en
Consideremos la transferencia de calor sólo a lo largo de una dirección (z). En este caso, en dos puntos consecutivos z1 y z2 separados una distancia Δz, la temperatura en un instante dado t0 tomará los valores T(z1 , t0) y T(z2 , t0). El gradiente de temperatura entre estos dos puntos puede expresarse en forma de un diferencia finita como
Si dividimos el tiempo en intervalos Δt, en un determinado instante habrá transcurrido un tiempo desde el inicio igual a n Δt.
Si derivamos la ecuación 3 y sustituimos en la 2, y la expresamos en forma de incrementos finitos resulta
Consideremos ahora el circuito mostrado en la figura 1. Si aplicamos las leyes de Kirchhof a este circuito llegamos a la siguiente relación entre los potenciales (V) y resistencias del circuito (R)
Figura 1. Esquema de circuito eléctrico al que aplicaremos las leyes de Kirchhof para estudiar su analogía con las ecuaciones de transferencia de calor entre tres puntos de un sólido en función del tiempo.
Si comparamos las ecuaciones 4 y 5 se puede observar que ambas tienen la misma forma, por lo que existen las siguientes analogías entre las magnitudes que caracterizan la conducción de corriente y la transferencia de calor:
Estos es, hay una analogía entre las propiedades térmicas másicas del material (conductividad térmica, la densidad y el calor específico), el espesor del material y el tiempo entre medidas y las resistencias del circuito y entre los potenciales y las temperaturas.
¿Cómo se hizo?
Para estudiar la conducción de calor en un muro se ha construido el circuito de la figura 2. Simula un muro dividido en 5 secciones de la misma longitud distribuidas desde la cara exterior (A) a la cara interior (B) del mismo. Se ha utilizado el método de las resistencias discretas de Liebmann de tal forma que el potencial en los puntos 1´ a 5´ equivale a la temperatura del muro en cada una de las cinco secciones mientras que el potencial en los puntos 1 a 5 se corresponde con la temperatura de las mismas secciones del muro en un instante de tiempo Δt posterior. La resistencia R´ representa las pérdidas por radiación y convección de la cara interior del muro.
Figura 2. Esquema de circuito eléctrico diseñado para el estudio de la transferencia de calor en un muro a lo largo de una sola dirección.
Suponemos que la cara exterior del muro está expuesta a dos temperaturas T1 y T2 alternativamente durante 12 horas correspondientes al día y la noche durante los equinoccios. Para ello se tomarán las tensiones de 15V y 0V correspondientes a las temperaturas T1 y T2. Se supone también que la temperatura inicial del muro es T2 por lo que los puntos 1´ a 5´se ponen a 0V y que comienza el día por lo que ponemos el punto A a 15V. Se miden a continuación las tensiones en los puntos 1 a 5 que se corresponden con las temperaturas de las secciones del muro 30 minutos después. Para continuar con el estudio de la distribución de temperaturas a lo largo del día se pasan los valores obtenidos de los puntos 1 a 5 a los puntos 1´a 5´ y se vuelve a medir la tensión en los primeros hasta completar las primeras 12 horas del día. A continuación se pone el punto A a 0V para continuar con el proceso durante las doce horas de noche y así sucesivamente.
Se ha estudiado también la distribución de temperaturas en un sistema real formado por 5 secciones cuadradas de pladur de 25 cm de lado unidas entre sí mediante un pegamento específico de este material. Se han aislado térmicamente los laterales de estas placas colocando poliespan en sus extremos para asegurarnos que el flujo de calor se producía exclusivamente desde el exterior del muro hacia el interior. Se ha introducido un sensor de temperatura de la marca Pasco scientific a través del orificio practicado por un taladro del mismo diámetro que el sensor para evitar pérdidas de calor. Los puntos de los que tomamos la temperatura están alineados para conocer la transmisión de calor en un sistema unidimensional. La toma de datos de estos sensores se produce automáticamente a través de la aplicación informática Data Studio. Se ilumina alternativamente durante 12 horas la cara exterior con una lámpara halógena de 200W para tener una situación similar a la del día con 12 horas de luz y 12 de noche.
Para conocer los parámetros que caracterizan el material del que está construido el muro, se ha medido la densidad y la conductividad térmica del pladur.
Se ha medido la masa de un fragmento de pladur de 8 cm x 5,7 cm x 1,2 cm para obtener su densidad como cociente entre la masa y el volumen de este fragmento.
Con el fin de obtener la conductividad térmica se ha realizado una experiencia en la que se mide el calor conducido a través de una muestra de pladur colocada entre dos temperaturas 0ºC y 100ºC. Se utilizó un dispositivo como el que se muestra en la figura 3, de la marca Pasco scientific, modelo TD-8561. Está formado por una cámara en la que se almacena vapor de agua proveniente del sistema de calefacción que eleva la temperatura del agua hasta que entra en ebullición. En esta cámara se condensa parte del vapor de agua, por lo que podemos suponer que están en equilibrio el líquido y el vapor y que su temperatura es de 100ºC.
Figura 3. Equipo experimental usado para la medida de la conductividad térmica del pladur (de izquierda a derecha): Sistema de calefacción para generar vapor de agua, base y cámara de vapor, hielo, contenedor para recoger el hielo fundido, y otro para el agua que se condensa de la cámara de vapor.
En la parte superior de la cámara se coloca la muestra de pladur, forrado con papel de aluminio para evitar que empape el vapor almacenado en la cámara, sujeta con unas mordazas. El aluminio tiene una conductividad térmica muy superior y el espesor de la lámina es muy pequeño, por lo que podemos despreciar su efecto en la medida de la conductividad térmica del pladur. En la cara superior de la muestra tiene adosadas unas tiras de goma para retener un bloque cilíndrico de hielo que se colocará encima y conducir el agua producto del deshielo hacia un recipiente.
Se mide la masa mT del agua producto del deshielo durante un cierto tiempo Δt, suponiendo que es el resultado del calor Q que le llega al bloque de hielo por conducción a través del pladur. El calor Q lo evaluamos como producto de la masa de hielo fundida por el calor latente de fusión del hielo L
Para descontar el efecto del ambiente se mide la masa mA de hielo fundida sin introducir vapor de agua en la cámara durante el mismo tiempo Δt. De esta forma, la cámara se encontrará a temperatura ambiente en lugar de a 100ºC. En ambos casos se espera a medir el tiempo a que el hielo comience a fundirse para que la temperatura de la cara superior, en contacto con el hielo, sea de 0ºC.
El calor Q que se conduce a través de un determinado material de espesor h a lo largo de un tiempo Δt, sometido a una diferencia de temperatura ΔT, una vez descontado el efecto del ambiente es
Por tanto, midiendo las masas de hielo fundido a temperatura ambiente y a 100ºC, el tiempo y la sección del hielo, podemos conocer la conductividad térmica κ del pladur.
Resultados y discusión
En primer lugar se ha estudiado con el circuito representado en la figura 2 la distribución de temperaturas en un muro hecho de una sustancia presente en muchos materiales cerámicos como es la alúmina, con las siguientes características:
Conductividad térmica κ = 13,8 W/m K; densidad ρ = 4000 kg/m3 y calor específico c = 940 J/kg K.
Las resistencias del circuito son R = 2000 Ω y RD = 330 Ω, lo que equivale según la ecuación 6 a un muro de 1 m de espesor dividido en 5 secciones de 0,2 m en el que las medidas se hacen a intervalos de tiempo Δt = 30 minutos. La distribución de temperaturas en las distintas secciones del muro en función del tiempo aparece representada en la figura 4.
Figura 4. Variación de temperatura en las cinco secciones (1 la exterior, 5 la interna) del muro en función del tiempo a lo largo de 4 días, correspondientes a 12 horas de sol y 12 horas de noche.
Como se puede apreciar en la figura, la sección más exterior del muro (sección 1) es la más sensible a la variación de la temperatura exterior y, por tanto, en la que su temperatura varía de forma más abrupta en la transición del día a la noche. La temperatura del resto de las secciones varía de forma similar pero más suavemente. Llama la atención que a partir de la primera noche hay secciones interiores del muro con una temperatura superior a las más exteriores, como se puede apreciar en los cortes de las curvas correspondientes de distribución de temperatura. Esta situación tiene como consecuencia una inversión en el flujo de calor. Durante el día el calor se transfiere de la cara más externa del muro hacia las más internas, pero a medida que avanza la noche, se comienza a producir una inversión térmica que tiene como consecuencia que se transfiera calor de caras más internas a otras más externas. Todas las secciones del muro van, a medida que pasan los días, teniendo sus temperaturas máxima y mínima más altas. Sin embargo, cada sección alcanza su temperatura más alta a diferente hora. Las más interiores incluso durante la noche.
Para poder comparar los resultados obtenidos en el circuito con los obtenidos directamente en un material conocido y así comprobar si la simulación basada en la analogía termoeléctrica nos proporciona datos fiables, realizamos las experiencias en el material directamente y en el circuito análogo. Hemos usado para esta experiencia un material muy utilizado en el ámbito de la construcción como es el pladur. Elegimos este material porque es fácil de conseguir y de mecanizar y cortar para construir un muro como el que se describió en la parte experimental.
Las propiedades térmicas másicas densidad y conductividad térmica se obtuvieron experimentalmente, mientras que el calor específico lo tomamos de los datos de la bibliografía.
Se calculó la densidad del pladur como cociente entre la masa y el volumen de un fragmento de 8 cm x 5,7 cm x 1,2 cm, resultando
Para conocer la conductividad térmica del pladur se ha medido diez veces la masa de hielo fundido según el procedimiento descrito en la parte experimental durante un tiempo de 480 segundos. El valor medio calculado a partir de los datos obtenidos en las diez medidas, una vez descontado el efecto del ambiente, ha sido de 14,1 ± 0,1 g. Teniendo en cuenta que el espesor de la muestra es de 1,2 cm, el diámetro del cilindro de hielo 7,5 cm, la diferencia de temperatura entre el vapor de agua y el hielo es de 100ºC y que el calor latente de fusión del agua es L = 3,34 · 105 J/kg , se obtiene una conductividad térmica
El calor específico del pladur fue tomado de la bibliografía, de la referencia 7
c = 1000 J/kgK
Una vez conocidas las propiedades térmicas másicas del material se procedió al estudio de la distribución de temperatura en un muro construido con 4 paneles de este material. En la figura 5 se puede apreciar la distribución de temperatura de las distintas secciones del muro de pladur a lo largo de dos días iluminando de forma alternativa durante 12 horas la cara más externa con una lámpara de 200 W. Como se puede apreciar, las temperaturas de las cuatro secciones evolucionan de la misma forma, con la salvedad de que la temperatura es mayor siempre en la capa más externa que en la más interna. En ningún caso se cortan las curvas térmicas de cada sección lo que indica que no se produce la inversión térmica observada en el muro estudiado anteriormente, debido a la más baja conductividad térmica del pladur.
Figura 5. Distribución de temperatura en las cuatro secciones de un muro de pladur de 5cm de espesor a lo largo de 48 horas.
Se estudió el comportamiento análogo del muro en el circuito eléctrico. Para ello fue necesario modificar el valor de la resistencia RD hasta los 6800 Ω, debido a las diferentes propiedades térmicas del pladur, de acuerdo con la ecuación 6. Una vez hecha esta modificación se procedió al estudio correspondiente a dos días con 12 horas de sol y 12 horas de noche. El resultado se puede ver en la figura 6.
Figura 6. Estudio de la distribución de temperaturas en un muro de pladur en un circuito eléctrico análogo en distintas secciones, desde la más externa (1) a la más interna (5) a lo largo de 48 horas.
Como se puede apreciar, la evolución de la distribución de temperatura es muy similar a la obtenida en el muro de pladur. Ninguna de las curvas se cortan, poniendo de manifiesto la no existencia de inversión térmica, además de la evolución similar de todas las curvas manteniéndose siempre la correspondiente a una sección más externa por encima de una más interna. Por tanto, el calor siempre se transfiere del exterior al interior, lo que asegura el perfecto aislamiento térmico del recinto interior limitado por este muro.
El estudio de la transferencia de calor en un determinado material en un circuito eléctrico análogo es mucho más sencillo y rápido proporcionando resultados comparables, además de facilitar la comprensión de los fenómenos involucrados en el proceso. Por este motivo, la analogía termoeléctrica puede ser una herramienta muy potente para el estudio de la transferencia de calor en cualquier máquina térmica, desde los motores de combustión interna Otto de gasolina o Diésel de gasoil a las grandes máquinas de vapor presentes en las centrales nucleares y térmicas; contribuyendo de forma importante a la mejora del diseño y optimización del funcionamiento del motor. Tambien puede ser de gran ayuda en la elección de los materiales de construcción y el diseño de los edificios para una mejor eficiencia energética, así como para la elaboración de auditorías energéticas y certificación energética de edificios.
Conclusiones
Se ha encontrado un circuito lo suficientemente versátil para estudiar la transmisión de calor en una dimensión a través de un muro de diversos materiales, dependiendo de sus propiedades térmicas másicas.
Los resultados obtenidos del estudio de la distribución de temperaturas en un muro de pladur han sido comparados con los simulados en el circuito comprobando la validez de la analogía termoeléctrica.
Al comparar los resultados del estudio del pladur y la alúmina, se comprueba que el primero se comporta como un buen aislante térmico debido a su menor conductividad térmica, no presentando en ningún caso el fenómeno de la inversión térmica.
La analogía termoeléctrica puede tener importantes aplicaciones en el diseño y optimización de motores Otto y Diesel así como de centrales eléctricas térmicas y nucleares. También en diseño de edificios y en la elaboración de auditorías energéticas y certificados energéticos de edificios.
Referencias
1)http://help.solidworks.com/2011/spanish/SolidWorks/cworks/LegacyHelp/Simulation/AnalysisBackground/ThermalAnalysis/Electrical_Analogy_of_Heat_Conduction.htm
2)http://pi-dir.com/calor/transferencia_de_calor_031_analogia_termoelectrica.htm
3)https://ocw.uma.es/ingenierias/ampliacion-de-fisica/archivos/Tema%208.%20Apuntes_Transferencia_de_calor.pdf
4)DUPIN, J. J. y JOSHUA, S., “UNA ANALOGIA TÉRMICA PARA LA ENSENANZA DE LA CORRIENTE CONTINUA EN ELECTRICIDAD: DESCRIPCIÓN Y EVALUACIÓN”, ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1990,8 (2), pag. 119
5)http://www.upv.es/upl/U0296617.pdf
6)unet.edu.ve/~fenomeno/F_DE_T-165.htm
7)https://upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2099.1/4548/Anexos.pdf
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4)DUPIN, J. J. y JOSHUA, S., “UNA ANALOGIA TÉRMICA PARA LA ENSENANZA DE LA CORRIENTE CONTINUA EN ELECTRICIDAD: DESCRIPCIÓN Y EVALUACIÓN”, ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1990,8 (2), pag. 119
5)http://www.upv.es/upl/U0296617.pdf
6)unet.edu.ve/~fenomeno/F_DE_T-165.htm
7)https://upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2099.1/4548/Anexos.pdf
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